Starre harmonische Anteile

Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst eine einzige harmonische Schwingung der Form

$$S(t)= A \sin\left(2\,\pi\,\frac{t}{\tau}\right) + B \cos\left(2\,\pi\,\frac{t}{\tau}\right).$$ (5)

Da die gefundenen Ergebnisse dann für jede beliebige harmonische Schwingung gelten, kann das Ergebnis später verallgemeinert werden. Einsetzen der Glg. (5) in Glg. (3) führt zu

$$\begin{array}{rcl} \overline{S(t_{n})} & = & \frac{1}{2\,m... ...,\pi\frac{t_{n}-m}{\tau}\right)\right]}_{\beta}. \end{array}$$ (6)

Allgemein gilt

$$\cos\,x - \cos\,y = - 2\,\sin\left(\frac{x}{2}+ \frac{y}{2}\right)\, \sin\left(\frac{x}{2}- \frac{y}{2}\right)$$

und

$$\sin\,x - \sin\,y = 2\,\cos\left(\frac{x}{2}+ \frac{y}{2}\right)\, \sin\left(\frac{x}{2}- \frac{y}{2}\right).$$

Damit folgt weiter

$$\alpha = \frac{\tau}{\pi}\frac{A}{2\,m} \,\sin\left(2\,\pi\frac{t_{n}}{\tau}\right) \,\sin\left(2\,\pi\frac{m}{\tau}\right)$$ (7)

$$\beta = \frac{\tau}{\pi}\frac{B}{2\,m} \,\cos\left(2\,\pi\frac{t_{n}}{\tau}\right) \,\sin\left(2\,\pi\frac{m}{\tau}\right).$$ (8)

Für das zentrierte Mittel der Breite $2m$ um den Zeitpunkt $t_{n}$ folgt dann

$$\overline{S(t_{n})}= \frac{\tau}{2\,\pi\,m}\,\sin\left(2\... ...) + B \cos\left(2\,\pi\,\frac{t_{n}}{\tau}\right) \right].$$ (9)

Ein Vergleich mit Glg. (5) zeigt, daß das gleitende Mittel einer harmonischen Schwingung wieder eine harmonische Schwingung mit der gleichen Phasenlage aber mit einer anderen (gedämpften) Amplitude ergibt. Die Amplitude ist um den Faktor

$$C=\frac{\tau}{2\,\pi\,m}\,\sin\left(2\,\pi\frac{m}{\tau}\right)$$ (10)

geringer als bei der ungemittelten Schwingung. Man kann damit von jeder in gemittelten Daten gefundenen Schwingung $\overline{S(t_{n})}$ mit der Beziehung

$$S(t_{n}) = \frac{\overline{S(t_{n})}}{C}$$ (11)

auf die Schwingung $S(t_{n})$ in der zeitkontinuierlichen Variable schließen. Da für Mittelungsintervalle, die klein gegenüber der Periode der Schwingung sind, $\sin\left(2\,\pi\frac{m}{\tau}\right)\approx 2\,\pi\frac{m}{\tau}$ gilt, folgt

$$\lim\limits_{\frac{m}{\tau}\to 0} C = 1.$$

Das bedeutet, daß Schwingungen mit einer Periode, die wesentlich größer ist als das Mittelungsintervall nicht nur in ihrer Phasenlage, sondern auch in ihrer Amplitude unverändert bleiben. Man beachte, daß Glg. (10) für beliebige Mittelungsintervalle gilt. Daraus folgt, daß eine zeitkontinuierliche harmonische Schwingung durch Tagesmittelwerte und durch Monatsmittelwerte mit der entsprechenden Dämpfung ausgedrückt werden kann. Bezeichnet man den Amplitudendämpfungsfaktor bei Monatsmitteln mit $C_{M}$ und den von Tagesmitteln mit $C_{T}$, so erhält man den Amplitudenfaktor zur Umrechnung von Monatsmitteln auf Tagesmittel $C_{MT}$ mit

$$C_{MT}=\frac{C_{T}}{C_{M}}$$ (12)

und es folgt

$$\overline{S(t_{n})}^{T} = C_{MT}\,\overline{S(t_{n})}^{M}$$ (13)

In Abbildung 1 ist der Amplitudendämpfungsfaktor $C_{M}$ für einen Mittelungszeitraum von einem Tag und einem Monat (30 Tagen) für Schwingungen mit Perioden zwischen einem Tag und einem Jahr dargestellt.

Abbildung: Abhängigkeit der Amplitudendämpfung bei a) dreißigtägiger Mittelung einer harmonischen Schwingung mit Perioden zwischen einem Tag und einem Jahr (die dünnen senkrechten Linien repräsentieren die möglichen Oberschwingungen des Jahresgangs, die von Monatsdaten aufgelöst werden können) und b) eintägiger Mittelung einer harmonischen Schwingung mit Perioden zwischen einem Tag und 15 Tagen.

Entsprechend der Abbildung 1 kann $C_{MT}$ für Perioden größer als 2 Wochen durch $C_{MT}=\frac{1}{C_{M}}$ mit einem Fehler kleiner $1\%$ approximiert werden. Für Perioden größer als ein Jahr kann $C_{MT}=1$ gesetzt werden. Die Amplitude wird dann um weniger als ein Prozent unterschätzt. Die gemittelten Schwingungen sind bis jetzt wie die ungemittelten Schwingungen in kontinuierlicher Zeit ausgedrückt worden. Bei der Betrachtung von Monatsmitteln, wird diese Zeitfunktion nun zu diskreten Zeitpunkten abgetastet, sodaß eine Zeitreihe entsteht. Wegen des Abtasttheorems können dann nur noch Schwingungen mit Perioden größer als zwei Monate, also $4\,m$, untersucht werden. Das bedeutet, daß einerseits harmonische Anteile des Jahresgangs, die eine größere Periode als zwei Monate aufweisen, unter Berücksichtigung des Amplitudendämpfungsfaktors $C$ (s. Glg (10)) von Monatsdaten auf Tagesdaten übertragen werden können. Andererseits können höherfrequente Anteile des Jahresgangs nicht durch die Monatsdaten ausgedrückt werden. Solche Anteile gehen, falls sie überhaupt in der Realität vorkommen, durch die Mittelung verloren. Die Zusammenhänge, die in diesem Abschnitt besprochen wurden, sind unabhängig davon mit welcher Methode signifikante harmonische Anteile in den gemittelten Daten gesucht wurden (z.B. Fourier-Analyse, Autokorrelationsspektralanalyse, gleitende Fourier-Analyse, Wavelet-Analyse).