Lineare Amplitudenfunktion

Eine harmonische Schwingung mit linearen Amplitudenfunktionen kann geschrieben werden als

$$S(t)= A\,t\, \sin\left(2\,\pi\,\frac{t}{\tau}\right) + B\,t\, \cos\left(2\,\pi\,\frac{t}{\tau}\right).$$ (14)

Zunächst wird die Kreisfrequenz $f=\frac{2\,\pi}{\tau}$ eingeführt, woraus die handlichere Schreibweise

$$S(t)= A\,t\, \sin\left(f\,t\right) + B\,t\, \cos\left(f\,t\right)$$ (15)

folgt. Dann gilt für das Mittel

$$\begin{array}{rcl} \overline{S(t_{n})} & = & \frac{1}{2\,m... ...}^{t_{n}+m} t\,\cos(f\,t) \,dt\right\}}_{\beta}, \end{array}$$ (16)

mit

$$\begin{array}{rcl} \alpha & = & \frac{A}{2\,m} \left[ ... ...}-m}{f}(\cos[f\,(t_{n}-m)]) \right\}}_{\delta}. \end{array}$$ (17)

Und $\gamma$ ist

$$\gamma = \frac{A}{m\,f^{2}} \cos(f\,t_{n}) \,\sin(f\,m).$$ (18)

Für $\delta$ folgt

$$\begin{array}{rcl} \delta & = & \frac{A}{2\,m} \left\{ \... ...frac{m}{f}\cos(f\,t_{n}) \,\cos(f\,m) \right\}. \end{array}$$ (19)

Dann folgt für $\alpha$

$$\alpha=\frac{A}{f\,m} \left( t_{n}\,\sin(f\,t_{n})\, \si... ...t_{n})\,\sin(f\,m) - m\,\cos(f\,t_{n})\,\cos(f\,m) \right).$$ (20)

Analog folgt für $\beta$

$$\beta=\frac{B}{f\,m} \left( t_{n}\,\cos(f\,t_{n})\, \sin... ...t_{n})\,\sin(f\,m) + m\,\sin(f\,t_{n})\,\cos(f\,m) \right).$$ (21)

Damit folgt für $\overline{S(t_{n})}$

$$\begin{array}{rcl} \overline{S(t_{n})} & = & \frac{sin(f... ...,\cos(f\,t_{n}) + B \,\sin(f\,t_{n}) \right) \end{array}$$ (22)

Der erste Term stellt die Originalschwingung dar, wobei der für gemittelte harmonische Schwingungen übliche Vorfaktor auftritt. Dieser ist für Schwingungen mit einer Periode $\tau$ größer als das doppelte Mittelungsintervall ($\tau>4m$) schon über .6. Mit zunehmender Wellenlänge verschwindet dieser Dämpfungseinfluß. Der zweite Term stellt eine Schwingung mit konstanter Amplitude dar, die sich um den Faktor

$$F=\frac {\frac{1}{f}\,\frac{\sin(f\,m)}{f\,m}-m\,\frac{\cos(f\,m)}{f\,m}} {\frac{sin(f\,m)}{f\,m}\,t_{n}}$$ (23)

von der Schwingung des ersten Terms unterscheidet. Wegen $t_{n}$ im Nenner stirbt dieser Term mit zunehmender Zeit aus (der relative Fehler geht gegen null). Für beliebig niedrige Frequenzen, bzw. beliebig kurze Mittelungsintervalle folgt $f\,m\longrightarrow 0$ und der zweite Term in Glg. (22) verschwindet. Im ungünstigsten Fall ist $\tau=4\,m$ und es folgt

$$F_{max}=\frac{1}{f\,t_{n}}.$$ (24)

Mit $f=2\,\pi/\tau=\frac{\pi}{2\,m}$ folgt dann

$$F_{max}\le\frac{2\,m}{\pi\,t_{n}}.$$ (25)

Nun kann $t_{n}$ aber nur ein ganzes Vielfaches von $m$ sein ( $t_{n}=(n-.5)*2\,m$ mit $n=1,2,\cdots$) und es folgt

$$F_{max}\le\frac{1}{\pi\,(n-.5)}<\frac{2}{\pi}.$$ (26)

Der zweite Term ist also immer kleiner als der erste Term.