Quadratische Amplitudenfunktion

Hierbei gehen wir von der Gleichung

$$S(t)= A\,t^{2}\, \sin\left(f\,t\right) + B\,t^{2}\, \cos\left(f\,t\right)$$ (27)

aus. Nach langer Rechnung folgt dann für die Schwingung in der gemittelten Zeitreihe

$$\begin{array}{rcl} \overline{S(t_{n})} & = & \frac{sin(f... ...cos(f\,t_{n}) + B \,\sin(f\,t_{n}) \right). \end{array}$$ (28)

Wieder kann man eindeutig von der in den Mitteln gefundenen Schwingung auf die Schwingung in der zeitkontinuierlichen Variable zurückschließen. Zusätzlich kann man zeigen, daß der relative Fehler bei Nichtberücksichtigung von Glg. (28) für große Zeiten gegen null geht. Dies sieht man daran, daß im ersten Term die Zeit quadratisch auftaucht (wie bei der Originalschwingung), im zweiten und dritten Term hingegen nicht oder nur linear. Das bedeutet, daß, obwohl der absolute Fehler mit zunehmender Zeit anwächst, dessen Einfluß immer geringer wird. Man kann abschätzen, daß sich die Amplitude des zweiten Terms von Glg. (28) zur Amplitude des ersten Terms verhält wie

$$F\le \frac{4}{\pi\,t_{n}}.$$ (29)

Dabei wird $t_{n}$ in Monaten gemessen. Nach einem Jahr ist der Fehler bei Vernachlässigung des zweiten Terms selbst im ungünstigsten Fall einer zweimonatigen Schwingung also schon kleiner als $1/(3\,\pi)\approx .1$. Vergleicht man den dritten Term mit dem ersten, so sieht man, daß dessen Einfluß maximal die Form

$$F\le \frac{m^{2}}{t_{n}^{2}}\,\left(1-\frac{4}{\pi^{2}}\right)$$ (30)

hat. Mißt man die Zeit in Monaten, so erhält man einen relativen Fehler, der selbst im ungünstigsten Fall nach einem Jahr schon kleiner ist als .0041. Da man die Terme, die den Zusammenhang zwischen $\overline{S(t_{n})}$ und $S(t_{n})$ angeben für beliebige Potenzfunktionen der Abhängigkeit der Amplituden von der Zeit berechnen kann, kann man auch beliebige Taylor-entwickelbare Amplitudenfunktionen aus der Untersuchung von Mittelwertzeitreihen berechnen.