Zyklische Punktprozesse und stochastische Resonanz

Bei einem zyklischen Punktprozeß hängt die Ereigniswahrscheinlichkeitsdichte $f(t)$ zyklisch von der Zeit ab, d.h. es gilt

$$f(t)=\lambda [1+A\,\cos(2\,\pi\,\omega\,t)].$$ (2.37)

Für beliebige Anfangszeitpunkte schreiben wir wieder

$$f(t_{0}+\Theta)=\lambda + \lambda\,A\,\cos[2\,\pi\,\omega\,(t_{0}+\Theta)]\,dt.$$ (2.38)

Dann gilt für die Stammfunktion

$$F(t_{0}+\Theta) = \lambda (t_{0}+\Theta) + \frac{A\,\lambda}{2\,\pi\,\omega} \sin[2\,\pi\,\omega\,(t_{0}+\Theta)].$$ (2.39)

Damit folgt für die Wartezeitverteilungsdichte aus Gleichung (2.24)

$$\begin{array}{lcl} g(t_{0}+\Theta) d\Theta & = & exp\left\... ...cos[2\,\pi\,\omega\,(t_{0}+\Theta)]\}\,d\Theta. \end{array}$$ (2.40)

Man kann leicht sehen, daß dieser Ausdruck für $A\to 0$ gegen die Exponentialverteilung konvergiert. Dies ist im Einklang damit, daß $f(t)$ dann eine Konstante ist. Modelle dieser Art kamen Anfang der achtziger Jahre in der Klimatologie auf, als man sich fragte, warum die Eiszeiten nicht kontinuierlich den Milankovic-Zyklen folgten. Mit Modellen dieser Art kann man diese Frage leichter angehen. Die zyklische Komponente sagt dann nur etwas über die Wahrscheinlihckeit des Übergangs von einem Eiszeit- in einen Nichteiszeitzustand aus. Von den Physikern ist dieser Gedanke eines System mit zyklischen Übergangswahrscheinlichkeiten dankbar aufgenommen worden. Wenn das System sensibel auf extreme Werte reagiert, und die Wahrscheinlichkeit für diese zyklisch ist, kann man, wenn das Rauschen in einem günstigen Verhältnis zur zyklischen Komponente steht, darüber zyklische Komponenten erkennen, die man im mittleren Verhalten nicht erkennen kann. Deshalb hat man diesen Effekt stochastische Resonanz genannt.