Altern nach dem Potenzgesetz

Für das Altern nach dem Potenzgesetz bietet sich der Ansatz

$$f(t)=\frac{a\,t^{a-1}}{b^{a}} \mbox{ mit } a>0,b>0$$ (2.31)

an. Will man die Wartezeit wieder ab einem beliebigen Startpunkt $t_{0}$ messen, so folgt

$$f(t_{0}+\Theta) = \frac{a (t_{0}+\Theta)^{a-1}}{b^{a}}.$$ (2.32)

Für die Stammfunktion gilt dann

$$F(t_{0}+\Theta) = \left(\frac{t_{0}+\Theta}{b}\right)^{a}.$$ (2.33)

Dies kann man in Gleichung (2.24) einsetzen und erhält die Wartezeitverteilungsdichte

$$g(t_{0}+\Theta) d\Theta=\frac{a}{b} \left(\frac{t_{0}+\Thet... ...ight)^{a} - \left(\frac{t_{0}+\Theta}{b}\right)^{a}\right].$$ (2.34)

Für den Fall, das man sich nur für die Wartezeit zwischen zwei Ereignissen (also unter klar vorgegebenen wenigen Startpunkten) interessiert und davon ausgeht daß, nach jedem Ereignis die Zeit wieder bei 0 losläuft, d.h. $t_{0}=0$ folgt die Weibull-Verteilung

$$g(\Theta) d\Theta=\frac{a}{b} \left(\frac{\Theta}{b}\right)... ...1} \exp\left[ - \left(\frac{\Theta}{b}\right)^{a}\right].$$ (2.35)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwischen zwei Ereignissen weniger als die Zeit $T$ vergeht, ist bei einem solchen Prozeß gegeben durch

$$p(\Theta\le T) = \int\limits_{t_{0}}^{t_{0}+T} g(t_{0},\The... ... = 1-\exp\left[ - \left(\frac{\Theta}{b}\right)^{a}\right].$$ (2.36)

Für $a=1$ ist $f(t)$ eine Konstante und somit geht die Betrachtung in den Poisson-Prozeß über. Die Weibull-Verteilung muß dann in die Exponentialverteilung übergehen. Das tut sie, wie man leicht sieht.