Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit?

Man kann sich leicht vorstellen, daß man von $n$ Menschen sowohl ihre Körpergröße $X$, als auch ihr Gewicht $Y$ mißt. Weiterhin kann man sich leicht vorstellen, daß diese beiden Größen nicht unabhängig voneinander sind. Die Abhängigkeit gilt aber nur im Mittel, denn man kann zwar erwarten, daß eine große Person schwerer ist als ein kleine, aber das Umgekehrte ist im Einzelfall immer möglich. In diesem Beispiel, wo man den Zusammenhang sofort einsieht, braucht man natürlich nicht mehr zu testen, ob die Daten einen Zusammenhang suggerieren, sondern kann gleich nach dessen Stärke und nach optimalen Approximationen dieses Zusammenhangs fragen. Anders sieht die Situation aus wenn man als Wissenschaftler Neuland betritt, d.h. nach Zusammenhängen sucht, wo man nicht von vornherein weiß, daß zumindest stochastisch ein Zusammenhang besteht. Zunächst müssen wir klar sehen, was mit stochastischem Zusammenhang gemeint ist. Die wichtigste Einschränkung, die hier gemacht wird, ist, daß die Realisationen von $X$ und $Y$ nur paarweise untersucht werden, d.h. daß jeder Realisation von $X$ genau ein $Y$ zugeordnet wird und umgekehrt. Bei dem oben gegebenen Beispiel ist das klar: einer Messung ist eine Realisierung von einer Körpergröße und einem Gewicht zugeordnet. Ganz anders ist es aber z.B. bei einer Zeitreihe, die die Realisation des folgenden Prozesses ist:

$$\begin{array}{ll} x_{t} = & f(x_{t-i},y_{t-i})\\ y_{t} = & g(x_{t-i},y_{t-i}). \end{array}$$

Bei diesem Prozess gibt es einen deterministischen Zusammenhang zwischen $x_{t}$, $x_{t-1}$ und $y_{t-1}$ und einen zwischen $y_{t}$ und $x_{t-1}$ und $y_{t-1}$. Damit hängen sowohl $x_{t}$ als auch $y_{t}$ von der gemeinsamen Vergangenheit ab. Sie hängen damit also von den vorhergehenden Werten der Zeitreihen selbst ab. Demnach ist die Information über den Zusammenhang vollständig in den Zeitreihen vorhanden. Bei der Analyse von Paaren der Art $x_{t}$ und $y_{t}$ muß er aber nicht sichtbar werden. Da der Prozess rekursiv ist, liegt ein Teil der Information über die Realisation von $X$ zur Zeit $t$ möglicherweise (das hängt von der konkreten Gestalt von $f$ und $g$ ab) in der Realisation von $X$ und/oder $Y$ zu viel früheren Zeiten. Die Dynamik könnte konkret so aussehen, daß man in einer endlichen Realisatin (Zeitreihe) keine signifikante stochastische Abhängigkeit zu irgendeinem der vorherigen Werte der beiden Variablen finden kann. Man muß dann die Variablen stochastisch unabhängig nennen. Das zeigt, daß stochastische Unabhängigkeit nicht ausschließt, daß die beobachteten Größen sogar völlig deterministisch voneinander abhängen. Nach dieser Warnung nun zur konkreten Definition von stochastischer Unabhängigkeit: Wir betrachten $X$ und $Y$ als Zufallsvariable, da es für uns zunächst zufällig erscheint ob große oder kleine Werte realisiert werden. Die Frage ist nun, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für die Variable $X$ der Zahlenwert $x$ realisiert wird, davon abhängt, daß für das zugeordnete $Y$ der Wert $y$ realisiert wird. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit [2] nennen wir $p(X=x\vert Y=y)$ oder kürzer $p(x\vert y)$. Falls die Realisation von $X$ nicht von der Realisation von $Y$ abhängt, muß gelten:

$$p(X=x\vert Y=y)= p(X=x)=p(x)$$ (1)

und umgekehrt auch

$$p(Y=y\vert X=x)=p(Y=y)=p(y).$$ (2)

Dabei stellen die Terme ganz rechts wieder nur verkürzte Schreibweisen dar. Die nächste wichtige Größe ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Verbundereignis $X=x$ und $Y=y$ eintritt. Diese Verbundwahrscheinlichkeit nennen wir $p(X=x,Y=y)$, oder kurz $p(x,y)$. Man kann sich nun durch kurzes Überlegen klar machen, daß bei stochastischer Unabhängigkeit, d.h. wenn die Gleichungen (1) und (2) gelten, die Verbundwahrscheinlichkeit $p(x,y)$ gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten $p(x)$ und $p(y)$ sein muß. Kennt man also die Verbundwahrscheinlichkeit und die Einzelwahrscheinlichkeiten, so kann man die stochastische Unabhängigkeit sofort erkennen. Nun ist es aber so, daß man diese im allgemeinen nicht kennt, sondern schätzen muß. Selbst wenn man sie wüßte, gäbe es noch das Problem, daß eine endliche Realisierung immer auch durch Zufall mal ein sehr seltenes Ereignis sein kann. Der im nächsten Abschnitt vorgestellte Test, berechnet nun gerade, wie unwahrscheinlich das geschätzte $p(x,y)$ unter der Annahme $p(x,y)=p(x)\cdot p(y)$ ist. $X$ und $Y$ können dabei sehr verschiedene Arten von Zufallsvariablen sein. Z.B. können die Variablen nominal skaliert sein, wie es bei $X=$ Farbe des Apfels und $Y=$ Geschmack des Apfels der Fall wäre. Sie müssen nur in disjunkte Klassen eingeteilt sein, d.h. ein Apfel kann nicht gleichzeitig grün und rot sein. Die Variablen können auch ordinal skaliert sein, wie es zum Beispiel die Wettereinteilung in sehr schlecht über mittel bis sehr gut ist. In diesem Fall ist eine Klasseneinteilung vorgegeben. Hat man metrische Variablen, z.B. Körpergröße in $cm$ oder Temperaturen in $^{\circ}C$, so muß man diese selbst in Ereignisklassen einteilen und daraus die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses einer bestimmten Klasse schätzen. Zum Schluß dieses Abschnittes soll nicht unerwähnt bleiben, daß man das Konzept der stochastischen Abhängigkeit bei Zeitreihen auch selbstbezüglich und über Kreuz anwenden kann. Man erhält dann stochastische Auto-Abhängigkeit bzw. stochastische Kreuzabhängigkeit.