Ergebnisse der Suche nach globalen Zusammenhängen

Bei der Suche nach globalen Zusammenhängen werden die vier im vorigen Abschnitt vorgestellten Koeffizienten berechnet, deren Signifikanz und der $\chi^{2}$-Unabhängigkeitstest. Da man davon ausgehen kann, daß auch die klimatischen Bedingungen des Vorjahres einen Einfluß auf das Baumwachstum haben, werden alle diese Größen auch für die Monatswerte von Niederschlag und Temperatur des Vorjahres berechnet. Um das Problem der Zufälligkeit von statistischen Zusammenhängen zu beleuchten werden zusätzlich auch die klimatischen Monatswerte des Folgejahres mit in Betracht gezogen. Zwischen den letzteren und dem Baumwachstum sollten keine signifikanten statistischen Zusammenhänge zu finden sein. Insgesamt werden demnach alle betrachteten Koeffizienten und deren Signifikanzen für 36 Monatsmitteltemperaturen und 36 monatliche Niederschlagssummen pro Jahrring berechnet. In den Abbildungen 4.2 und 4.3 sind im oberen Teil jeweils die Koeffizienten des Zusammenhangs zwischen Temperatur und Baumwachstum (Abb. 4.2) und Niederschlag und Baumwachstum (Abb. 4.3) eingezeichnet. Man sieht bei den statistischen Zusammenhängen zwischen Temperatur und Jahrringbreiten (Abb. 4.2)

• einen nur unwesentlichen Unterschied zwischen den Maßen des monotonen und linearen Zusammenhangs (d.h. eine monotone Abbildung würde keine besseren Ergebnisse liefern als eine lineare),
• daß die Transinformationskoeffizienten kaum größer sind als die Beträge der anderen Koeffizienten (was bedeutet, daß auch ein allgemeiner nichtinearer Zusammenhang keine besseren Ergebnisse liefern würde als ein linearer),
• eine deutliche Variabilität des statistischen Zusammenhangs von Monat zu Monat, wobei die Werte des Vorjahres schwach negativ eingehen, der Vorwinter positiv und der Sommer des zugeordneten Jahres wieder negativ (dabei insbesondere der Juni und August),
• auch statistische Zusammenhänge zu den klimatischen Parameter des Folgejahres zu sehen sind.

Bei den statistischen Zusammenhängen zwischen den monatlichen Niederschlagssummen und den Jahrringbreiten (Abb. 4.3) erkennt man

• einen nur unwesentlichen Unterschied zwischen den Koeffizienten des monotonen und linearen Zusammenhangs, aber
• einen deutlich größeren Koeffizienten der Transinformation, was suggeriert, daß man mit einem nicht-linearen und nicht-monotonen Zusammenhang deutlich mehr Varianz erklären können wird,
• während der monotone und lineare Zusammenhang für fast alle Monate um null schwankt, ist er für den Mai des Vorjahres stark negativ und für den Juli des Wachstumsjahres stark positiv.

Es stellt sich nun die Frage, für welche der statistischen Zusammenhänge die oben diskutierten Koeffizienten glaubwürdig (in statistischem Sinne) sind. Dazu wird zu allen Koeffizienten die Signifikanz berechnet. Diese sagt aus, bei welchem Anteil von Gauß'schen weißen Zufallsreihen der gleichen Länge kein solch hoher Koeffizient auftritt. Die Signifikanzen der einzelnen Koeffizienten und die Ergebnisse des $\chi^{2}$-Unabhängigkeitstests sind in den unteren Teilen der Abbildungen 4.2 und 4.3 für Werte größer .9 dargestellt. Bei der Interpretation der Ergebnisse ist folgendes zu beachten. Ein Wert von .9 bedeutet, daß nur in 10 % der Fälle ein so hoher Koeffizient durch Zufall auftritt. Da nun aber ein Jahr 12 Monate hat ist es wahrscheinlicher, daß pro untersuchtes Jahr ein Koeffizient durch Zufall so hoch ist, als das kein Koeffizient dieses 90 % Signifikanzniveau überschreitet. Deshalb soll nun für die Schwellen $p = .9$, .95 und .99 berechnet werden, wie wahrscheinlich es ist, daß $k$ der 12 möglichen Werte durch Zufall über der Schwelle liegen. Diese Wahrscheinlichkeit folgt der Binomialverteilung (Bernoulli-Experiment) deren Dichte gegeben ist durch

$$b(p,k)= {12 \choose k} (1-p)^{k} p^{12-k}.$$ (4.11)

Mit dieser Gleichung kann man berechnen, wieviele Werte $k$ über einer Schwelle $p$ liegen müssen, damit dies ein Ereignis darstellt, daß nur in $l$ Prozent der Realisationen stattfindet. Die Ergebnisse sind in Tabelle 4.1 angegeben.

Tabelle: Tabelle der Ergebnisse des Tests auf Überzufälligkeit der Anzahl der signifikanten Koeffizienten aus den Abbildungen 4.2 und 4.3.

$p$	$k(l=.1)$	$k(l=.01)$
.9	3	4
.95	2	3
.99	1	1

Tabelle 4.1 besagt z.B., daß, wenn in einem der drei Jahre (Vorjahr, Jahr des Wachstums, Folgejahr) vier oder mehr Koeffizienten einer Art eine Signifikanz größer .9 aufweisen, dies nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % Zufall ist. Benutzt man Tabelle 4.1 Zur Interpretation der unteren Teile der Abbildungen 4.2 und 4.3, so erkennt man, daß auch die klimatologische Information des Niederschlags der Folgejahre höchst signifikant in den Jahrringbreiten zu sehen ist. Andererseits ist die Temperatur des Vorjahres keinesfalls signifikant in den Jahrringen zu sehen. Dieses Ergebnis ist außerordentlich befremdend.

Abbildung: Oben: Verschiedene Maße des Zusammenhangs zwischen der Zeitreihe der Jahrringbreiten von Kiefern in Brandenburg und Monatsmitteltemperaturen in Potsdam zwischen 1891 und 1991: Transinformation (dicke durchgezogene Linie), Pearson-Korrelation (dünne durchgezogene Linie), Spearman-Korrelation (dünne unterbrochene Linie) und Kendall-Korrelation (Strichpunktlinie). Unten: Verschiedene Signifikanzmaße: Quadrate $= \chi ^{2}$, $\bigtriangleup$ = Signifikanz der Spearman-Korrelation, $\circ$ = Signifikanz der Pearson-Korrelation und $\bullet$ = Signifikanz der Transinformation.

Abbildung: Oben: Verschiedene Maße des Zusammenhangs zwischen der Zeitreihe der Jahrringbreiten von Kiefern in Brandenburg und monatlicher Niederschlagssummen in Potsdam zwischen 1891 und 1991: Transinformation (dicke durchgezogene Linie), Pearson-Korrelation (dünne durchgezogene Linie), Spearman-Korrelation (dünne unterbrochene Linie) und Kendall-Korrelation (Strichpunktlinie). Unten: Verschiedene Signifikanzmaße: Quadrate $= \chi ^{2}$, $\bigtriangleup =$ Signifikanz der Spearman-Korrelation, $\circ =$ Signifikanz der Pearson-Korrelation und $\bullet =$ Signifikanz der Transinformation.