Autokorrelationsfunktion

Die Autokorrelationsfunktion der Zeitreihe Temp ist in Abbildung 9 in den drei Darstellungsformen Lin-Lin, Log-Lin und Log-Log wiedergegeben.

Abbildung 9: Autokorrelationsfunktion der Reihe Temp in (a) Lin-Lin-Darstellung (inkl. 90% Konfidenzintervall), (b) Log-Lin-Darstellung und (c) Log-Log-Darstellung.

Wie man in Teil a) der Abbildung sieht, fällt sie sehr schnell auf einen sehr geringen Betrag (ca. .1) ab, auf dem sie dann recht konstant zu bleiben scheint. Bis zu einer Zeitverschiebung von $\tau = 38$ Monaten ist die geschätzte Autokorrelationsfunktion des die Zeitreihe erzeugenden Prozesses mit 95% Wahrscheinlichkeit größer null. Der Korrelationskoeffizient der Zeitreihe erreicht den Wert null erstmals bei einer Zeitverschiebung von 138 Monaten. Der erste Wert, von dem man mit 95% Wahrscheinlichkeit sagen kann, daß er unter Null liegt, tritt bei 662 Monaten Zeitverschiebung auf. Wir können also davon ausgehen, daß die Autokorrelationsfunktion mit sehr großer Wahrscheinlichkeit über einen sehr langen Zeitraum größer null ist. In Teil b) von Abbildung 9 ist die Autokorrelationsfunktion für die ersten 38 Verschiebungen in der Log-Lin-Darstellung angegeben. Man sieht keinen linearen Zusammenhang, wie man ihn bei einem AR(1)-Prozeß erwarten würde. Eine optimal angepaßte Gerade erklärt 8% der Varianz bei einer Steigung von $-.5665 E-4$. Der Schätzwert des zugeordneten AR(1)-Koeffizienten ist dann $\hat{\alpha_{1}}= .999869$. Das wiederum ist dem Wert $\hat{\alpha_{1}}=1$, der Brownschen Bewegung sehr nahe. Zu dieser Anpassung passen die Werte der Verschiebung 1 und 2 nicht. Dies ist zunächst rein hypothetisch damit erklärbar, daß die Autokorrelationsfunktion eines ARMA-Prozesses der Ordnung (p,q) ab einer Zeitverschiebung $\tau^{*}=\max(p,q+1)$ [14], nur noch durch den autoregressiven Anteil bestimmt ist. Dann ist entweder $p=3$ oder $q=2$ zu erwarten. Setzt man also voraus, daß sich der Prozeß für Zeitverschiebungen größer 2 nicht mehr von einem AR(1)-Prozeß unterscheidet, so folgt daß er eine Realisierung eines ARMA(1,2)-Prozesses ist. Wir könnten es hier demnach mit einem Prozeß mit langem Gedächtnis zu tun haben ( $\hat{\alpha_{1}}=1$), der für kleine Zeitschritte durch den MA(2)-Anteil verdeckt ist. Diese plausible Hypothese könnte an dieser Stelle weiter getestet werden. Stattdessen soll sie nur als Anregung dienen, denn in Teil c) der Abbildung sieht man, daß eine Gerade in der Log-Log-Darstellung die Autokorrelationsfunktion ebenfalls recht gut wiedergibt. Die Steigung der Geraden ist $g=-.28$ und erklärt 10% der Varianz der ersten 38 Autokorrelationskoeffizienten. Daraus kann man vermuten, daß die Temperaturzeitreihe der Station Genf durch einen fraktionell differenzierten White-Noise-Prozeß mit $\hat{d}=\frac{1-g}{2}\approx.36$ dargestellt werden kann. Es gelingt demnach nicht, anhand der Autokorrelationsfunktion zwischen einem Prozeß mit langem Gedächtnis und $d\approx .36$ und einem anderen Prozeß mit langem Gedächtnis ⁹ zu unterscheiden. Die Autokorrelationsfunktion der Reihe Rain ist ab Zeitverschiebungen von 1 nicht mehr mit 95% Wahrscheinlichkeit von null zu unterscheiden. Daraus kann geschlossen werden, daß sie nicht aus einem ARMA-Prozeß stammt. Sie scheint kein Gedächtnis zu haben. Die Autokorrelationsfunktion der Reihe Baum ist in Abbildung 10 in den bekannten drei Darstellungsformen wiedergegeben. Man sieht zunächst in Abbildung 10a, daß die Autokorrelationsfunktion nur langsam gegen null geht. Dabei ist der Wert bei der Verschiebung 271 der erste nicht mehr signifikant von null unterscheidbare Wert. Erst bei einer Verschiebung von 805 wird die Autokorrelation kleiner 0. In der Log-Lin-Darstellung in Abbildung 10b sieht man einen guten linearen Zusammenhang. Bei einer erklärten Varianz von 88% und einer Steigung von $b=-.003724$ liegt es nahe, daß die Reihe Baum aus einem AR(1)-Prozeß mit dem geschätzten Koeffizienten $\hat{\alpha}_{1}=10^{b}=.99$ stammt. Dies wiederum liegt sehr nahe an einem Prozeß mit langem Gedächtnis, denn für $\alpha_{1}\rightarrow 1$ geht das stationäre AR(1)-Rauschen in das instationäre Brownsche Rauschen über. Letzten Endes betrachten wir die in Abbildung 10c gegebene Log-Log-Darstellung der Autokorrelationsfunktion. Auch hier scheint ein linearer Zusammenhang sichtbar zu sein. Für die ersten zwanzig Zeitverschiebungen folgt eine Steigung von $-.09$ bei einer erklärten Varianz von 96%. Betrachtet man hingegen die ersten 270 Zeitverschiebungen, so erklärt ein linearer Zusammenhang nur noch 65% der Varianz bei einer Steigung von -.59. Hieraus scheint man demnach keine Aussagen über ein mögliches langes Gedächtnis ableiten zu können.

Abbildung 10: Autokorrelationsfunktion der Reihe Baum in (a) Lin-Lin-Darstellung (inkl. 90% Konfidenzintervall), (b) Log-Lin-Darstellung und (c) Log-Log-Darstellung.