Spektrum

Für alle drei Zeitreihen wurde das Spektrum berechnet. Der Kolmogoroff-Smirnoff-Test und der Anderson-Darling-Test lehnen die Hypothese, daß die Reihen Temp und Baum aus einem White-Noise-Prozeß stammen mit 99% Wahrscheinlichkeit ab. Die Reihe Rain kann nur auf dem 95% Niveau vom weißen Rauschen unterschieden werden. Die drei Spektren der drei Zeitreihen sind zusammen mit einer optimalen linearen Anpassung und dem Spektrum des optimal angepaßten AR(1)-Prozesses in Abbildung 11 als Log-Log-Darstellung für Frequenzen kleiner als .1 der Zeitschrittlänge gegeben. Da der Autokorrelationskoeffizient zur Verschiebung 1 der Reihe Rain nicht mit 95% Sicherheit von null unterschieden werden kann, wird dieser Reihe kein optimal angepaßtes AR(1)-Spektrum zugeordnet. Die Spektren der anderen beiden Reihen werden durch das zugeordnete AR(1)-Spektrum nicht gut wiedergegeben.

Abbildung: Spektren von Zeitreihen mit jeweils ca. 2000 Werten aus (a) Monatsmitteltemperaturen von Genf, (b) monatliche Niederschlagssummen von Genf und (c) Jahrringbreiten von Eichen in Süddeutschland in Log-Log-Darstellung. Die Geraden sind optimal angepaßt. Die unterbrochenen Linien entsprechen optimal angepaßten AR(1)-Prozessen.

Die Steigung $b$ der in der Log-Log-Darstellung optimal angepaßten Geraden, wird nun als Schätzer für den Exponenten $\beta$ eines $1/f^{\beta}$-Spektrums verwendet. Man erhält dann $\hat{\beta}_{Temp}=.33$, mit einer erklärten Varianz von 7%, $\hat{\beta}_{Rain}=.28$, mit einer erklärten Varianz von 5% und $\hat{\beta}_{Baum}=1.13$, mit einer erklärten Varianz von 37%. Dabei ist zu beachten, daß Spektralschätzer nicht Gauß-verteilt sondern asymptotisch exponentiell verteilt sind, so daß die Anpassung einer optimalen Geraden statistisch nicht ganz sauber ist ¹⁰. Würde man die Spektren erst glätten und dann die Geraden anpassen, so würde man erstens statistisch sauberer sein (geglättete Spektren sind asymptotisch Gauß-verteilt) und würde zweitens wegen der geringeren Varianz des geglätteten Spektrums, die Steigung der Geraden besser schätzen. Andererseits zeigt ein Blick auf Abbildung 11, daß dies keinen wesentlichen Einfluß auf die Steigung der angepaßten Gerade hätte. Aus den Steigungen der Geraden würde man demnach schätzen

$$\begin{array}{rcl} d_{Temp} & \approx & .17\\ d_{Rain}& \approx & .14\\ d_{Baum}& \approx & .57. \end{array}$$ (60)