Strukturfunktion

Für alle drei Beobachtungszeitreihen wird die Strukturfunktion berechnet. Abbildung 12a, c, und e zeigt die Ergebnisse für die Reihen Temp, Rain und Baum in der Log-Log-Darstellung. Man sieht, daß die Strukturfunktion der Reihen Temp und Rain in guter Näherung konstant sind, d.h. daß für diese beiden Zeitreihen $d<.5$ gilt. Die angepaßten Geraden zeigen eine unsignifikante Steigung im Bereich von $10^{-3}$. Für die Reihe Baum hingegen liegt der Exponent zwischen .1 und .18, und somit folgt als Schätzer für $\hat{d}=\hat{H}+.5$ im Bereich des rosa Rauschens mit $.6\le \hat{d} \le .7$. Auch die Strukturfunktion für die drei integrierten Reihen wurde berechnet. Abbildung 13a, c, und e zeigt die Ergebnisse für die Reihen Temp, Rain und Baum in der Log-Log-Darstellung. Man sieht, daß die Annahme einer Geraden in der Log-Log-Darstellung sehr gut erfüllt ist. Die Exponenten der integrierten Strukturfunktion, die in den Abbildungsteilen b), d) und f) dargestellt sind, liegen zwischen .52 und .95, also alle im Bereich des rosa Rauschens. Dabei erscheint für die Reihe Temp ein Exponent von ca. .74 gerechtfertigt, während der Exponent bei der Reihe Rain nicht wesentlich von .5 abweicht. Für die Reihe Baum liegt der Exponent deutlich über .9. Aus dem Wert des Exponenten der Strukturfunktion der nichtintegrierten Zeitreihe erwartet man den Wert 1. Daraus folgt das einzig Aussagbare $\hat{d}_{H_{I}}>.5$.

Abbildung: Strukturfunktionen von Zeitreihen mit jeweils ca. 2000 Werten aus (a) Monatsmitteltemperaturen von Genf, (c) monatliche Niederschlagssummen von Genf und (e) Jahrringbreiten von Eichen aus Süddeutschland in Log-Log-Darstellung und Steigung der bis zur angegebenen Verschiebung optimal angepaßten Geraden für die Zeitreihe Temp (b), Rain (d) und Baum (f).

Abbildung: Strukturfunktionen der integrierten Zeitreihen Temp (a), Rain (c) und Baum (e) in Log-Log-Darstellung und Steigung der bis zur angegebenen Verschiebung optimal angepaßten Geraden für die Zeitreihe Temp (b), Rain (d) und Baum (f).