Betrachtung bei diskreten Zeitschritten

Wir betrachten nun die Zeit in diskreten Schritten $t=1, 2, 3,\cdots$. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses zur Zeit $n$ ist dann $p_{n}$. Das Ereignis tritt dann im Zeitschritt $n$ mit der Wahrscheinlichkeit $q_{n}=1-p_{n}$ nicht ein. Wir fragen zunächst wieder allgemein nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß $k$ Ereignisse in den $m+1$ Zeitschritten von $n_{1}$ bis $n_{1}+m$ stattfinden und gehen dazu sukzessive vor. Die Wahrscheinlichkeit kein Ereignis vorzufinden ist offensichtlich

$$f_{0}(n_{1},n_{1}+m) =\, q_{n_{1}}\, q_{n_{1}+1}\,\cdots\, q_{n_{1}+m} = \prod\limits_{i=0}^{m}q_{n_{1}+i}.$$ (2.42)

Die Wahrscheinlichkeit ein Ereignis vorzufinden ergibt sich daraus, daß an einer beliebigen Stelle $q_{n_{1}+i}$ durch $p_{n_{1}+i}$ ersetzt werden muß. Da jede Stelle im Intervall $n_{1}$ bis $n_{1}+m$ dafür in Frage kommt, entstehen $m+1$ Terme. Es folgt also

$$\begin{array}{rcl} f_{1}(n_{1},n_{1}+m) & = & \, p_{n_{1}... ...s_{{i=0 \atop i\neq j}}^{m}q_{n_{1}+m} \right]. \end{array}$$ (2.43)

Für den Spezialfall, daß die Eintrittswahrscheinlichkeiten alle gleich sind ($p_{t}=p$), folgt daraus wieder das Ergebnis des Bernoulli-Experiments (s. Gleichung (2.14)) für den Spezialfall $k=1$:

$$f_{1}^{Bernoulli}(m) = m\,p\,(1-p)^{m-1}.$$ (2.44)

Man kann sich leicht vorstellen, daß die allgemeinen Ausdrücke für $f_{k}(n_{1},n_{1}+m)$ schon für kleine $k$ recht kompliziert werden. Andererseits kann man sich bestimmte Strukturen von $q_{n_{1}+i}$ vorstellen, für die sich wiederum vereinfachte Ausdrücke ergeben. So folgt z.B. aus der exponentiellen Abnahme der Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens des Ereignisses (das ist die zeitdiskrete Form des exponentiellen Alterns) $q_{n_{1}+i} = a*q_{n_{1}}^{i}$

$$f_{0}(n_{1},n_{1}+m) = \prod\limits_{i=0}^{m} q_{n_{1}+i}... ...um\limits_{i=0}^{m}i} = a^{m+1} \, q_{n_{1}}^{m\,(m+1)/2}.$$ (2.45)

Wir beenden nun die Betrachtungen von $f_{i}(n_{1},n_{1}+m)$ und wenden uns der einfacheren Frage zu, wie lange man warten muß bis das erste Ereignis eintritt. Die Wartezeit $g(n_{1},m)$ vom Zeitschritt $n_{1}$ bis zum Zeitschritt mit dem ersten Ereignis $n_{1}+m$, ist gegeben durch das Produkt der Wahrscheinlichkeit dafür, daß in der Zeit von $n_{1}$ bis $n_{1}+m-1$ kein Ereignis stattgefunden hat und im Zeitschritt $n_{1}+m$ ein Ereignis stattfindet:

$$g(n_{1},m) = f_{0}(n_{1},n_{1}+m-1) \,p_{n_{1}+m}= \prod\limits_{i=0}^{m-1}q_{n_{1}+i} \,p_{n_{1}+m}.$$ (2.46)

Für den Fall $p_{t}=p$ folgt daraus wieder die Wartezeitverteilung des Bernoulli-Experiments $g_{Bernoulli}(m)=(1-p)^{m-1}\,p$ mit der mittleren Wartezeit (= Wiederkehrzeit) $\tau_{Bernoulli}=1/p$. Für das zeitdiskrete exponentielle Altern $q_{n_{1}+i}= a\,q_{n_{1}}^{i}$ folgt durch Einsetzen von Gleichung (2.45) in Gleichung (2.46)

$$g(n_{1},m) = \,p_{n_{1}+m}\, a^{m} \, q_{n_{1}}^{m\,(m-1)/2}.$$ (2.47)

Die Wiederkehrzeit in Abhängigkeit von $n_{1}$ und $m$ anzugeben, wird hier erst garnicht versucht, sondern scheint eher ein Fall für numerische Experimente zu sein. Falls $p_{n_{1}+i}$ für alle $i$ bekannt ist, kann im Prinzip die Wartezeitverteilung für jedes beliebige $n_{1}$ und $m$ angegeben werden. Ein Spezialfall soll hier noch vorgestellt werden, da er in der Klimatologie von Bedeutung ist. Eine Variable sei Gauß-verteilt und stationär um einen zeitabhängigen Mittelwert $\mu(t)$. Gesucht ist nun die Wartezeitverteilung ab einem bestimmten Zeitpunkt $n_{1}$ für das Überschreiten einer Schwelle $x_{c}$. Wegen

$$p(x\ge x_{c},n_{1}+i) = 1-\frac{1}{\sqrt{2\,\pi\sigma^{2}}}... ...{c}}\exp\left( \frac{(x-\mu(t))^{2}}{\sigma^{2}}\right) \,dx$$ (2.48)

folgt für die Wartezeitverteilung $g(n_{1},m) = \prod\limits_{i=0}^{m-1}q_{n_{1}+i} \,p_{n_{1}+m}$ ein Produkt aus $m+1$ Errorfunktionen.