Mindestens notwendige Fensterlängen

Bei einer Gauß-Verteilung ist der Erwartungswert der Schiefe und des Exzesses gleich null. Die Varianz dieser Größen hängt allerdings vom Datenumfang ab (s. Gleichungen (13) und (14)). Schiefe und Exzeß der $\chi ^{2}$- und der $\chi$-Verteilung mit $f$ Freiheitsgraden folgen aus den Gleichungen (15) und (22). Nun kann man fragen, wie wahrscheinlich Schiefe und Exzeß einer Verteilung von $N$ Realisationen einer Gauß-verteilten Zufallsvariable einen mindestens so großen Abstand von null haben, wie Schiefe und Exzeß einer vorgegebenen $\chi ^{2}$- bzw. $\chi$-Verteilung mit $f$ Freiheitsgraden. Unter der Annahme, daß Schiefe und Exzeß annähernd Gauß-verteilt sind, folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(\vert Sf_{\mbox{Gau\ss{}}}\vert<\vert Sf_{\chi}\vert)$ dafür, daß die Schiefe einer Gauß-verteilten Variable näher an null ist, als die der $\chi$-verteilten Variable

$$P(\vert Sf_{\mbox{Gau\ss{}}}\vert<\vert Sf_{\chi}\vert) = \... ... \,\exp\left(\frac{-x^{2}}{2\,\sigma_{Sf}^{2}}\right) \,dx.$$ (23)

Diese Gleichung gilt entsprechend auch für den Exzeß und für eine $\chi ^{2}$-verteilte Variable. Sie wird hier aber nur für den einen Fall gelöst, da die Lösung auf die anderen Fälle übertragbar ist. Um Gleichung (23) zu lösen, wird zunächst die Schiefe der $\chi$-Verteilung mit $f$ Freiheitsgraden mit der Standardabweichung der Schiefe der Gauß-Verteilung normiert, d.h. $z_{\chi}=\frac{Sf_{\chi}}{\sigma_{sf}}$. Damit folgt

$$P(\vert Sf_{\mbox{Gau\ss{}}}\vert<\vert Sf_{\chi}\vert) = \... ...{\chi}}^{z_{\chi}} \exp\left(\frac{-z^{2}}{2}\right) \,dz.$$ (24)

Da das Integral über eine um null symmetrische Funktion gebildet wird, folgt weiter

$$P(\vert Sf_{\mbox{Gau\ss{}}}\vert<\vert Sf_{\chi}\vert) =\f... ...its_{0}^{z_{\chi}} \exp\left(\frac{-z^{2}}{2}\right) \,dz.$$ (25)

Durch die Transformation $t=\frac{z}{\sqrt{2}}$ entsteht daraus

$$P(\vert Sf_{\mbox{Gau\ss{}}}\vert<\vert Sf_{\chi}\vert) =\f... ... \int\limits_{0}^{t_{\chi}} \exp\left(-t^{2}\right) \,dt,$$ (26)

was der Errorfunktion entspricht, so daß folgt

$$\fbox{$\displaystyle P(\vert Sf_{\mbox{Gau\ss{}}}\vert<\vert... ...{\sqrt{2}}\,\frac{Sf_{\chi}(f)}{\sigma_{Sf}(N)} \right). $}$$ (27)

Abbildung 5 zeigt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß $N$ Realisationen einer Gauß-verteilten Variable zu einer Verteilung mit einer betragsmäßig mindestens gleichgroßen Schiefe führen, wie eine $\chi$- bzw. eine $\chi ^{2}$-Verteilung. Man sieht, daß die Schiefe der $\chi$-Verteilung schon für wenige Freiheitsgrade nicht mehr signifikant von der Schiefe der Gauß-Verteilung mit z.B. hundert Realisationen abweicht. Bei der $\chi ^{2}$-Verteilung hingegen, ist die Schiefe selbst bei 30 Freiheitsgraden und sehr kurzen Reihen noch deutlich von der Schiefe der Gauß-Verteilung zu unterscheiden.

Abbildung: Wahrscheinlichkeit $p$, mit der die Schiefe einer a) $\chi$-verteilten und b) $\chi ^{2}$-verteilten Zufallsvariable stärker von null abweicht, als bei $N$ Realisationen einer Gauß-verteilten Zufallsvariable.

Abbildung 6 zeigt die Ergebnisse für die Untersuchung des Exzesses. Auch hier sieht man die deutliche Überlegenheit der $\chi$-Verteilung, auch wenn hier die $\chi ^{2}$-Verteilung selbst kein so fatales Bild abgibt, wie bei der Untersuchung der Schiefe.

Abbildung: Wahrscheinlichkeit $p$, mit der der Exzeß einer a) $\chi$-verteilten und b) $\chi ^{2}$-verteilten Zufallsvariable stärker von null abweicht, als bei $N$ Realisationen einer Gauß-verteilten Zufallsvariable.

Damit läßt sich sagen, daß sich gezeigt hat, daß eine Reihe von gleitenden Standardabweichungen, auch wenn diese jeweils nur aus wenigen Werten berechnet werden $(f<10)$, nicht von einer Reihe Gauß-scher Zufallszahlen zu unterscheiden ist, falls die Reihe der gleitenden Mittel nicht zu lang ist. Nun kann man die Schiefe der $\chi$-Verteilung $Sf_{\chi}(f)$ mit dem 90%-Signifikanzniveau $K_{90}\,\sqrt\frac{6}{N}$ der Schiefe der Verteilung von $N$ Gauß-verteilten Zufallszahlen gleichsetzen und nach $N$ auflösen. Man erhält

$$N=\frac{6\,K_{90}^{2}}{Sf_{\chi}^{2}(f)}.$$ (28)

Solange man keinen einfachen analytischen Ausdruck für $Sf_{\chi}^{2}(f)$ findet, kann man nicht die minimal notwendige Fensterlänge $f$ in Abhängigkeit von der Länge der Datenreihe $N$ berechnen, wohl aber Glg. (28) anwenden, und dann $f$ gegen $N$ abbilden. Das Ergebnis ist in Abbildung 7 dargestellt und ist verblüffend einfach. Der linear erscheinende Zusammenhang $(r^{2}>.9999)$, spiegelt wider, daß die Schiefe der $\chi$-Verteilung proportional zu $f^{-.5}$ ist. Es folgt dann aus Abbildung 7 der Zusammenhang

$$f_{min}=.9144 + .03122\cdot N.$$ (29)

Dabei stellt $N$ die Länge der Zeitreihe der gleitenden Standardabweichungen dar. Diese folgt aus der Länge der Originalreihe $N_{org}$ durch $N=N_{org}-f+1$. Daraus folgt für die Anwendung

$$\fbox{$\displaystyle f_{min}=.91699 + .030275\cdot N_{org}. $}$$ (30)

Abbildung: Minimal notwendige Fensterbreite $f_{min}$ in Abhängigkeit von der Zeitreihenlänge für die Untersuchung gleitender Standardabweichungen.