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$\chi $-Verteilung

Eine $\chi $-verteilte Variable entsteht, wenn man die Wurzel einer $\chi ^{2}$-verteilten Variable bildet. Da Varianzen $\chi ^{2}$-verteilt sind, sind Standardabweichungen $\chi $-verteilt. Für die Transformation der Wahrscheinlichkeitsdichte folgt dann nach Gleichung (2)
\begin{displaymath}
f_{\chi}(x)=2x\,f_{\chi^{2}}(x^{2})
\end{displaymath} (20)

und damit nach Gleichung(7)
\begin{displaymath}
f_{\chi}(x)=\frac{1}{2^{\frac{f}{2}-1}\,\Gamma\left(\frac{f}{2}\right)}\,
x^{f-1}\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}.
\end{displaymath} (21)

Für das $r$-te Moment folgt dann nach Gleichung (8)
\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
E(X^{r})& = & \int\limits_{0}^{\infty} ...
...mma\left(\frac{f}{2}\right)}\,2^{\frac{r}{2}}.
\end{array}
\end{displaymath} (22)

Damit lassen sich für eine vorgegebene Anzahl von Freiheitsgraden4 die Parameter Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Exzeß berechnen. Erwartungswert und Varianz können dazu verwendet werden, eine Gauß-Verteilung anzupassen. Die Werte von Schiefe und Exzeß dienen dann als Maße für die Abweichung der $\chi $-Verteilung von der Gauß-Verteilung. Abbildung 3 zeigt den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte der $\chi $-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade und die entsprechende Gauß-Verteilung.

Abbildung: Vergleich von $\chi $-Verteilung (durchgezogene Linie) und Gauß-Verteilung (unterbrochene Linie) mit gleichem Mittelwert und gleicher Varianz bei 1, 2, 3 und 10 Freiheitsgraden.
\begin{figure}
\centerline{\hbox{
\psfig{figure=chione.eps,width=120mm,height=120mm}}}
\end{figure}

Abbildung 4 zeigt die Abhängigkeit von Schiefe und Exzeß von der Anzahl der Freiheitsgrade $f$. Ein Vergleich von Abbildung 4 mit Abbildung 2 zeigt, daß tatsächlich, wie erwartet, die Werte der Schiefe und des Exzesses bei einer $\chi $-verteilten Variable mit zunehmender Anzahl der Freiheitsgrade schneller gegen null geht, als die entsprechenden Werte einer $\chi ^{2}$-verteilten Variable.

Abbildung: a) Schiefe einer $\chi $-verteilten Zufallsvariable in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade. b) Exzeß einer $\chi $-verteilten Zufallsvariable in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade.
\begin{figure}
\centerline{\hbox{
\psfig{figure=chiver.eps,width=120mm,height=70mm}}}
\end{figure}

Es stellt sich nun die Frage, wieviele Freiheitsgrade man mindestens zulassen muß, damit Schiefe und Exzeß der $\chi $-Verteilung nicht signifikant von null abweichen. Diese Frage ist gleichbedeutend damit, wie breit das Datenfenster mindestens sein muß, das über die zu untersuchende Zeitreihe geschoben wird, um die Zeitreihe der gleitenden Standardabweichungen zu bilden. Dieser Frage wird im nächsten Abschnitt nachgegangen.
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ich 2000-01-25