Autokorrelationsfunktion

Für alle drei Reihen wird die Autokorrelationsfunktion berechnet. Für Gau ist die Autokorrelationsfunktion bei keiner Verschiebung signifikant von null zu unterscheiden. Gau wird demnach eindeutig als weißes Rauschen erkannt. Bei AR1 ist die Autokorrelationsfunktion für die ersten 9 Verschiebungen signifikant (95%) von null zu unterscheiden, d.h. nur diese 9 Werte stehen zur Analyse zur Verfügung. Führt man eine lineare Regression gemäß Gleichung (28) durch, so erhält man als besten Schätzer für $\alpha_{1}$ den Wert $\hat{\alpha_{1}}\approx .81$. Die Korrelation erklärt aber nur 70% der Varianz der 9 Schätzer der Autokorrelationsfunktion. Gemäß Abbildung 2a scheint die lineare Beziehung zwischen dem Logarithmus der Autokorrelation und der Zeitverschiebung für die ersten 5 Werte am besten gegeben zu sein. Dort liefert eine lineare Regression einen besten Schätzer von $\hat{\alpha_{1}}\approx .55$ mit einer erklärten Varianz von 99%. Der lineare Zusammenhang wird zwar schön gesehen, aber der Schätzer liegt immer noch um 10% neben dem wahren Wert. Letzterer wird am besten getroffen, wenn man $\rho_{\tau=1}= \alpha_{1}$ als Schätzer verwendet. Man erhält dann $\hat{\alpha_{1}}=.503$ mit einem 90%-Konfidenzintervall von $[.47;.53]$. Wen dieses Ergebnis betrübt, der wird noch enttäuschter sein, wenn er sich Abbildung 2b ansieht, in der die Autokorrelationsfunktion für die ersten zehn Verschiebungen in der Log-Log-Darstellung gegeben ist. Die Log-Log-Darstellung der signifikanten Werte ist besser durch eine Gerade repräsentiert als die Log-Lin-Darstellung, d.h. es wird nicht nur der Wert von $\alpha_{1}$ schlecht geschätzt, sondern es wird auch der durchaus einfache AR(1)-Prozeß nicht als solcher erkannt. Die Gerade in der Log-Log-Darstellung erklärt 74 Prozent der Varianz, während in der Log-Lin-Darstellung nur 70 Prozent der Varianz durch die Gerade erklärt werden. Dies spricht dafür, daß die Zeitreihe eine Realisation eines Prozesses mit langem Gedächtnis ist. Der Schätzwert für den Exponenten $\hat{\gamma}$ beträgt dann 1.19. Daraus würde $\hat{d_{\gamma}}=-.1$ folgen.

Abbildung 2: Autokorrelationsfunktion einer Zeitreihe aus 2000 Daten eines AR(1)-Prozesses mit $\alpha _{1}=.5$ (a) in der Log-Lin-Darstellung und (b) in der Log-Log-Darstellung.

In Abbildung 3 ist die Autokorrelation der Reihe Bro in der Lin-Lin-, der Log-Lin- und der Log-Log-Darstellung angegeben. Da diese Reihe als instationär erkannt wurde, darf Abbildung 3 nicht interpretiert werden.

Abbildung 3: Autokorrelationsfunktion einer Zeitreihe aus 2000 Daten eines Brownschen Rauschens (a) in der Lin-Lin-Darstellung (mit 90% Konfidenzintervall), (b) in der Log-Lin-Darstellung und (c) in der Log-Log-Darstellung.