Strukturfunktion

Die Strukturfunktion $D_{j}$ zur Verschiebung $j$ wird für alle Zeitreihen nach Gleichung (30) berechnet. Diese Anwendung auf nichtintegrierte Zeitreihen erlaubt es $j=N-a$ Verschiebungen zu betrachten, wenn $N$ die Zeitreihenlänge ist, und $a$ die Anzahl der Schätzwerte, die in die quadratische Mittelung eingehen sollen. Wir können damit, wenn wir mindestens 100 Realisierungen voraussetzen, bis zu einer Zeitverschiebung von 1900 vorgehen. Nun kann man $D_{j}$ gegen $j$ in der Log-Log-Darstellung auftragen und eine lineare Regression durchführen. Die Ergebnisse sind in Abbildung 5 dargestellt. Dabei enthalten die Teile a),c) und e) die Strukturfunktion der Zeitreihen, während b),d) und f) die Steigung der besten angepaßten Geraden bis zu der jeweils angegebenen Verschiebung zeigt. Da sich für größere Zeitverschiebungen keine nennenswerten Änderungen ergeben, werden die Ergebnisse nur für die ersten 200 Zeitverschiebungen dargestellt. Sowohl für die Reihe Gau, als auch für die Reihe AR1 geht die Strukturfunktion sehr schnell gegen die Wurzel aus 2, was nach Gleichung (31) zu erwarten ist. Beide Reihen werden also eindeutig als Realisationen von Prozessen ohne langes Gedächtnis mit $d<.5$ erkannt. Für die Reihe Bro sieht man einen signifikanten linearen Anstieg. Das bedeutet, daß der dahinterstehende Prozeß als ein Prozeß mit langem Gedächtnis und $d\ge .5$ erkannt wird. Der Exponent $H$ wird auf Werte zwischen .5 und .57 geschätzt, also unweit des wahren Wertes .5.

Abbildung: Strukturfunktionen von Zeitreihen mit jeweils 2000 Werten aus (a) weißen, (c) roten und (e) Brownschen Rauschen in Log-Log-Darstellung und Steigung der bis zur angegebenen Verschiebung optimal angepaßten Geraden für das (b) weiße, (d) rote und (f) Brownsche Rauschen.

Alternativ wird die Strukturfunktion der integrierten Reihen für nichtüberlappende Teilintervalle berechnet. Letzteres hat zur Folge, daß die Anzahl der Freiheitsgrade nicht so stark überschätzt wird, wie es bei Verwendung von Gleichung (39) der Fall wäre. Bei Zeitreihen der Länge 2000 besteht dann die Strukturfunktion der integrierten Reihen zur Verschiebung 100 nur noch aus dem Mittel von zwanzig Werten, die dafür aber voneinander unabhängig sind. Nun kann man auch $D_{j}(Y^{*})$ gegen $j$ in der Log-Log-Darstellung auftragen und eine lineare Regression durchführen um den Exponenten $H_{I}$ zu erhalten. Die Ergebnisse sind in Abbildung 6 dargestellt. Dabei enthalten die Teile a),c) und e) die Strukturfunktion der (integrierten) Zeitreihen, während b),d) und f) die Steigung der besten angepaßten Geraden bis zu der jeweils angegebenen Verschiebung zeigt. Wir sehen, daß der lineare Zusammenhang $\log(D_{j}(Y^{*})) \sim H_{I} \log(j)$ in allen drei Fällen sehr gut gegeben ist. Der Koeffizient $H_{I}$ wird jedoch sowohl für das weiße Rauschen, als auch für das rote Rauschen mit .55 und .58 etwas zu hoch geschätzt⁸. Andererseits wird das Brownsche Rauschen mit dem theoretischen Wert 1 knapp unterschätzt.

Abbildung: Strukturfunktionen von integrierten Zeitreihen mit jeweils 2000 Werten aus (a) weißen, (c) roten und (e) Brownschen Rauschen in Log-Log-Darstellung und Steigung der bis zur angegebenen Verschiebung optimal angepaßten Geraden für das (b) weiße, (d) rote und (f) Brownsche Rauschen.